Международный коллектив ученых, куда входили математики из ИТФ имени Ландау, получил простые и эффективные приближенные формулы для решения нелинейного уравнения Шредингера и проверил их «действенность» на практике – в оптических экспериментах. Новая работа поможет ученым объяснить одно очень необычное физическое явление: «дежавю» некоторых нелинейных систем – то есть их способность возвращаться в исходное состояние. Ученые рассчитывают, что эти работы помогут понять причину появления в океане гигантских волн-убийц. Исследование опубликовано в журнале Physical Review X.
Объектом исследования авторов работы были нелинейные системы. В отличие от линейных, такие системы невозможно описать линейными уравнениями, а их важнейшей характеристикой является отсутствие принципа суперпозиции. Этот принцип постулирует, что реакция системы на любую комбинацию внешних воздействий равна сумме реакций на каждое из этих воздействий по отдельности. Неподчинение принципу суперпозиции приводит к тому, что поведение системы становится контринтуитивным и сложнопредсказуемым.
При этом некоторые нелинейные системы имеют тенденцию к возвращению в исходное или почти исходное состояние – то есть в них наблюдается своеобразное «дежавю». Это свойство было впервые обнаружено в 1955 году в численном эксперименте, проведенном в Национальной лаборатории в Лос-Аламосе, и получило название парадокса Ферми — Паста — Улама — Цингу – в честь обнаруживших его ученых. Исследователи смоделировали простую систему, состоящую из нескольких массивных объектов, связанных гибкими соединениями – точно так же устроена, например, кристаллическая решетка. «Если гибкое соединение подчиняется закону Гука, то система является строго линейной. В ней есть некоторое количество возникающих колебаний – мод, – рассказывает доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник сектора современных проблем математики ИТФ имени Л.Д. Ландау Петр Гриневич. – В линейных системах нет обмена энергии между модами, и в каждой моде сохраняется исходное количество энергии. Затем ученые ввели в систему нелинейность, ожидая, что энергия равномерно распределится по всей системе за счет обмена между модами, и система будет «забывать» свое исходное состояние. Однако выяснилось, что это не так, и система возвращается почти к исходному состоянию».
В начале 1970-х парадокс Ферми — Паста — Улама — Цингу получил объяснение: было показано, что подобные системы близки к интегрируемым. Этим термином называют особые системы, обладающие большим количеством высших симметрий. «Несмотря на то, что эти системы довольно сложно устроены, в них есть много законов сохранения, поэтому вероятность возвращения в исходное состояние для таких систем выше и можно делать довольно точные выводы об их поведении, – объясняет Гриневич. – Хорошая аналогия – коробка передач. Чтобы делать предсказания о том, как она будет работать, не обязательно разбираться в ее детальном устройстве. Достаточно факта, что она подчиняется «золотому правилу» механики: проигрыш в скорости дает выигрыш в силе, а выигрыш в силе – проигрыш в скорости. Это означает, например, что коробка не способна увеличить мощность двигателя».
Как полагают ученые, интегрируемые и близкие к ним системы могут быть использованы для того, чтобы объяснить появление гигантских волн-убийц высотой до 25 метров. Они возникают в относительно спокойном океане как будто из ничего и представляют серьезную опасность для судов и различных сооружений. «Сегодня ученые полагают, что это нелинейный эффект, связанный с модуляционной неустойчивостью, – говорит Гриневич. – В океане есть распределение волн и из-за неоднородностей этого распределения те зоны, где волн оказывается больше, как бы притягивают к себе энергию. В итоге в какой-то момент в одном месте рождаются волны большой амплитуды. В 1968 году сотрудник ИТФ имени Ландау академик Владимир Захаров показал, что эффективной моделью для описания модуляционной неустойчивости волн в океане является нелинейное уравнение Шредингера».
Фото: FreeImages
Подобные аномалии – то есть повторное возникновение аномальных волн – встречаются не только в океане, но также, например, в оптических волокнах, где они приводят к сбоям в передаче информации. Однако наблюдать и исследовать возвращение аномальных сложно, так как из-за рассеяния и других внешних процессов возникновение новой повторяющейся аномальной волны может занимать очень много времени.
В новой работе авторы сконструировали и исследовали оптическую нелинейную систему, в которой одна и та же аномальная волна возвращалась несколько раз. Для ее создания ученые использовали нелинейный оптический кристалл, коэффициент преломления которого зависит от интенсивности света. «Более освещенные участки кристалла собирают падающий свет, работая как фокусирующие линзы. Те, которые освещены слабее, ведут себя подобно рассеивающим линзам и ослабляют свет, – объясняет Гриневич. – Чем ярче становится какая-то зона, тем больше света она притягивает. В итоге изначальные небольшие неоднородности в кристалле многократно усиливаются – именно так проявляется модуляционная неустойчивость».
В эксперименте на кристалл подавали три луча: центральный и два боковых, которые давали неоднородности, приводившие в итоге к развитию неустойчивой аномальной волны. Дополнительный лазер другой частоты обеспечивал, что система работала в почти интегрируемом режиме. Изображение авторов работы.
Экспериментаторам удалось трижды наблюдать возвращение аномальной волны. Теоретическая часть группы, в которую входили Петр Гриневич и итальянский математик из римского университета «Сапиенца» Паоло Сантини, вывели приближенные формулы, которые очень точно предсказали наблюдаемые результаты. «Наше решение опирается на алгебро-геометрический подход, впервые предложенный сотрудником ИТФ имени Л.Д. Ландау академиком Сергеем Новиковым. Возвращение аномальной волны связано с тем, что системы, где наблюдается это явление, подчиняется законам, которые хорошо описываются нелинейным уравнением Шредингера, которое является интегрируемым. Первыми интегрируемость нелинейного уравнения Шредингера показали Владимир Захаров и еще один сотрудник ИТФ имени Ландау Алексей Шабат. Его применение для описания различных физических задач исследуется очень активно, но, как оказалось, нужных экспериментаторам формул не было. Известные формулы либо описывали специальные ситуации, либо были слишком сложными. Мы поняли, как можно получить приближенные, но простые формулы», – рассказывает Гриневич.
Наложение теоретически предсказанных кривых, описывающих момент первого появления аномальной волны и ее повтора, на экспериментальные данные. Цветами показаны интенсивность волны, желтый соответствует максимальным значениям. Изображение авторов работы.
Выведенные учеными формулы помогут лучше понять, как появляются аномальные волны – неважно, в оптоволокне, в океане или в других нелинейных системах. «Сейчас повторяющиеся аномальные волны мешают работать оптоволокну, но в перспективе, зная, как они развиваются, можно использовать это явление для улучшения его характеристик», – полагает Гриневич. Кроме того, ученые предполагают, что выведенные ими формулы после небольшой доработки будут полезными для описания поведения конденсата Бозе — Эйнштейна, макроскопической квантовой системы, представляющей собой охлажденные почти до абсолютного ноля бозоны. При очень низких температурах почти все атомы «проваливаются» на минимальный энергетический уровень и становится возможным непосредственно наблюдать квантовые эффекты. Исследование конденсата Бозе — Эйнштейна помогут физикам лучше понять природу квантовых явлений.
Договориться об интервью с учеными, комментариях и запросить дополнительную информацию, в том числе полный текст статьи, можно по адресу: press@itp.ac.ru