Традиция проводить коллоквиумы в ИТФ им. Л.Д. Ландау РАН появилась совсем недавно, всего пару лет назад. Отказываться от неё из-за короновирусной угрозы мы не стали, просто перешли в онлайн-режим. Ближайший коллоквиум с приглашенными известными учеными запланирован на 19 февраля.
Главная цель коллоквиумов - дать представление научным сотрудникам о происходящем в тех областях физики и математической физики, в которых в институте не ведется активной работы. От обычного доклада коллоквиум отличается детальным и понятным всем (от матфизиков до астрофизиков) введением в предмет доклада. Часто это введение может длится больше часа. До пандемии докладчик приезжал в институт на несколько дней, и все желающие могли с ним обсудить научные вопросы. Онлайн же, с одной стороны, мешает неформальному общению с докладчиком, а с другой - позволяет пригласить на коллоквиум учёных, которые из-за своей занятости, никогда не смогли бы приехать в Москву. Обычно бывает около 10 коллоквиумов в год. Коллоквиум Антти Купиайнена второй в этом году, и первый из серии коллоквиумов, посвященных различным аспектам математической физики.
Одной из центральных тем физики XX века была разработка описания так называемых «критических явлений», то есть таких явлений, при которых при изменении какого-нибудь управляющего параметра (например, температуры) при достижении этим параметром определенного значения система приобретает (или теряет) качественно новые свойства.
Самый известный пример критического явления это плавление: при нагревании до определенной температуры вещество из твердого упорядоченного состояния с атомами, образующими правильный кристалл, переходит в жидкое состояние, где атомы могут легко двигаться с места на место, что дает возможность жидкости течь. Другим известными примером является магнетизм: если нагревать намагниченный кусок железа, то выше определенной температуры (в районе тысячи градусов) он вдруг перестает быть магнитом, хотя до точки плавления железа еще весьма далеко. Еще одним примером является исчезновение электрического сопротивления металлов при глубоком охлаждении (сверхпроводимость).
Основы понимания таких процессов заложил Лев Ландау, введя в рассмотрение фундаментальный механизм «спонтанного нарушения/восстановления симметрии» которое происходит в таких переходах. Так, магнетизм куска железа можно понять на основании модели огромного числа взаимодействующих «атомных магнитиков» (так называемых «спинов»), которые условно можно себе представлять как стрелочки, приделанные к атомам железа, сидящим в узлах кристалла. Если температура высокая, то стрелочки соседних атомов смотрят куда попало без всякого порядка, и никаких свойств магнита у такого куска железа нет. Но если понижать температуру, то с какого-то момента все стрелочки начинают в среднем смотреть в одну сторону. Такой «коллективный выбор направления» происходит «вдруг», то есть самопроизвольно («спонтанно») - и приводит к тому, что кусок железа становится магнитом.
Как часто бывает в науке, новые идеи оказываются востребованными в областях весьма далеких от тех, где они возникли. В 60-е – 70-е гг XX века идеи спонтанного нарушения симметрии неожиданно оказались фундаментально важными для понимания свойств таких, казалось бы, бесконечно далеких от кристаллов объектов, как элементарные частицы. Например, существование знаменитого «бозона Хиггса» было предсказано именно в круге этих идей. Сходные идеи оказались приложимыми и в таких далеких друг от друга областях, как теория турбулентности (спонтанное возникновение хаотичности в потоке воды или газа при увеличении скорости потока) и теория квантовой гравитации, стремящаяся описать, в частности, что происходит на поверхности черных дыр.
Хотя сама идея спонтанного нарушения симметрии кажется простой, адекватное математическое описание, позволяющее правильно предсказывать в деталях возникновение порядка в реальных системах , оказывается весьма непростой задачей. Один из важнейших методов, называемый методом ренорм-группы, был в окончательном виде развит такими американскими учеными, как Кеннет Вильсон и Лео Каданов, но его развитие опиралось на основополагающие работы таких российских ученых (многие из Института Теоретической Физики им. Ландау), как Виталий Гинзбург, Игорь Дзялошинский, Валерий Покровский, Александр Паташинский, Анатолий Ларкин, Дима Хмельницкий и многих других.
Развитие этих идей и методов показало, что при описании критических явлений фундаментальную роль играет размерность изучаемых объектов (не путать с размером). Хотя большинство предметов в нашем мире трехмерны (имеют размерность D=3), также весьма распространены и имеют важное практическое значение двумерные объекты – пленки (размерность D=2) и даже одномерные цепочки (размерность D=1). Более того, в приложениях в теории элементарных частиц важную роль играют четырехмерные объекты, а также объекты более высоких размерностей. Особенно удивительно богатыми оказываются критические явления в двумерных системах. Разработка основ одного из фундаментальных методов описания широкого круга двумерных критических явлений («конформной теории поля») является заслугой сотрудника ИТФ Александра Полякова и его коллег Александра Белавина и Александра Замолодчикова. С другой стороны, развитые ими методы являются основой разработки многих вопросов современной теории квантовой гравитации («теории струн»).
Необходимо отметить, что теории и методы, развитые физиками-теоретиками, с точки зрения их коллег математиков изначально содержат большое число предположений, опирающихся более на физическую интуицию, чем на регулярные математические методы. Зачастую математика на момент создания физических теорий не дает возможности не только строго описать объекты, рассматриваемые физиками, но даже возможности корректного математического определения таких объектов. Создание соответствующего инструментария является одним из самых плодотворных источников развития многих областей математики, что подтверждается большим количеством высших математических наград, присуждаемых за такие работы, в частности, награждение российского математика Станислава Смирнова премией Филдса за вклад в разработку математического аппарата конформной теории поля.
Наш сегодняшний докладчик, профессор Антти Купиайнен, является одним из признанных лидеров такого развития в областях, где теория критических явлений соприкасается, с одной стороны, с теорией элементарных частиц, а с другой - с теорией вероятности, областью математики, изучающей случайные процессы и явления (такие, как броуновское движение). В его активе немало прекрасных работ в математической теории критических явлений (в частности, строгого метода ренорм-группы) включая разработку задач, связанных с пониманием турбулентного течения. Здесь хочется подчеркнуть любопытный факт, который может показаться парадоксальным широкой публике: на сегодняшний день уровень научного понимания свойств турбулентного течения жидкостей, (например, обычной воды) в определенном смысле ниже, чем многих аспектов элементарных частиц или свойств космологических объектов. В этом смысле можно сказать, что течение воды является чрезвычайно сложным для описания явлением. В ИТФ Ландау существенный вклад в понимание вопросов, связанных с турбулентностью, внесли, например, такие сотрудники, как Владимир Лебедев и Игорь Колоколов. Их работы в этом направлении нетривиально перекликаются с работами Купиайнена.
В его докладе речь пойдет, в основном, о недавних работах Купиайнена и соавторов, которым удалось построить строгое математическое описание физических объектов, которыми оперировали Александр Поляков и его коллеги при построении некоторых важных моделей конформной теории поля, имеющих отношение к гравитации. Развитие этих методов также позволяет лучше понять поведение и других математические объектов, связанных, например с такой фундаментальной проблемой, как поведение дзета-функции Римана, определяющей многие свойства простых чисел, и потому важной (в том числе и для приложений в криптологии) и, как следствие, привлекающей широкое внимание.